三次元
\(\Large \frac{4 \pi}{(4 \pi D t)^{3/2}} \int_{0}^{\infty} r^2 e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \)
を解くのですが，まずは簡単に，
\(\Large\int_{-\infty}^{\infty} ｘ^2 e^{- a x^2} dx \)
を解いていきましょう．
部分積分を行いますので，
\(\Large {f(x) g(x) }' = f'(x) g(x)+f(x) g(x)' \)
\(\Large f'(x) g(x) = {f(x) g(x) }' - f(x) g(x)' \)
\(\Large \int f'(x) g(x) = f(x) g(x) - \int f(x) g(x)' \)
を利用します．
先ほどの積分の中身を，
\(\Large ｘ^2 e^{- a x^2} = x \cdot x e^{- a x^2} \)
とすれば，
\(\Large f'(x) = x \cdot e^{- a x^2} \hspace{ 20pt } f(x)= - \frac{e^{- a x^2}}{2 a} \)
\(\Large g(x) = x \hspace{ 57pt } g'(x)= 1 \)
となりますので，
\(\Large\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \left[ x \cdot \frac{e^{- a x^2}}{2a} \right]_{-\infty}^\infty -\int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \frac{e^{- a x^2}}{2a} dx \)
となります．
ここで，
\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to \infty } x \cdot \frac{e^{- a x^2}}{2a} =0 \)
\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to -\infty } x \cdot \frac{e^{- a x^2}}{2a} =0 \)
となりますので（証明はここ），第一項は0となります．従って，
\(\Large\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = -\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- a x^2}}{2a} dx \)
と簡単になります．積分公式，
\(\Large\int_{-\infty}^{\infty} e^{- a x^2} dx = \sqrt \frac{\pi}{a} dx \)
より，
\(\Large \begin{align*} & \frac{1}{2a} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- a x^2} dx \\
&=
\frac{1}{2a} \sqrt \frac{\pi}{a} \\
&=
\sqrt \frac{\pi}{4 a^3} \\
\end{align*} \)
となります．本来の式では，
\(\Large a = \frac{1}{4Dt} dx \)
となるので，
\(\Large \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- \frac{ x^2}{4Dt}} dx = \sqrt \frac{\pi}{4} (4Dt)^{3/2} \)
となります．また，積分範囲は0～無限大です．
上記の式は偶感数なので，0～無限大の場合はこの半分となるので，
\(\Large \int_{0}^{\infty} x^2 e^{- \frac{ x^2}{4Dt}} dx = \frac{1}{2} \sqrt \frac{\pi}{4} (4Dt)^{3/2} \)
となります．元の式，
\(\Large \frac{4 \pi}{(4 \pi D t)^{3/2}} \int_{0}^{\infty} r^2 e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \)
に組み込めば，
\(\Large \frac{4 \pi}{(4 \pi D t)^{3/2}} \frac{1}{2} \sqrt \frac{\pi}{4} (4Dt)^{3/2} =1 \)
となって規格化されていることがわかります．